进制：从数苹果到互相转换

工作里遇到要手动换算负数的情况，想做个记录。在讲负数之前，得先把进制和进制转换弄清楚。这一篇是「数字在计算机里」系列的第一篇。

四种常见进制

进制	英文缩写	用到的数字	规则
二进制	BIN / B	0、1	逢二进一
八进制	OCT / O	0 ~ 7	逢八进一
十进制	DEC / D	0 ~ 9	逢十进一
十六进制	HEX / H	0 ~ 9、A ~ F	逢十六进一

拿十进制来说，9 + 1 个位满十归零，向十位进一，结果从一位数变成了两位数 10。其他进制完全一样，只是「满几」不同：

二进制：  1 + 1 = 10
八进制：  7 + 1 = 10
十六进制：9 + 1 = A，F + 1 = 10    （A~F 分别代表 10~15）

「10」不一定是十

每种进制加到最后都会出现 10，但它们代表的数量并不相同。假设一共有 16 个苹果：

十进制数：  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
二进制数：  1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ..., 1111, 10000
八进制数：  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20
十六进制数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10

16（D）、10000（B）、20（O）、10（H）都是 16 个。表示方法不同，数量相同。

偷懒的办法：系统计算器

只是想换算一下的话，Windows 自带的计算器就够了：搜索「计算器」打开，左上角菜单切到「程序员」模式。

HEX、DEC、OCT、BIN 四行里，点哪一行就用哪种进制输入，另外三行同步显示换算结果。比如在 DEC 下输入 16，会看到 HEX 10、OCT 20、BIN 0001 0000。

其他进制转十进制：按权展开

先看二进制里几个特殊的数：

二进制：0001  0010  0100  1000
十进制：  1     2     4     8
权值：   2^0   2^1   2^2   2^3

每一位上的 1 都代表 2 的某次方。所以 1111 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15。

规则可以推广到任何进制：从右往左第 n 位上的数字 a，代表 a × 基数^(n-1)，把每一位加起来就是十进制结果。

二进制   1111 0001 = 1×2^7 + 1×2^6 + 1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 241
八进制   1234 5670 = 1×8^7 + 2×8^6 + 3×8^5 + 4×8^4 + 5×8^3 + 6×8^2 + 7×8^1 + 0×8^0 = 2739128
十六进制 123A BCDE = 1×16^7 + 2×16^6 + 3×16^5 + 10×16^4 + 11×16^3 + 12×16^2 + 13×16^1 + 14×16^0 = 305839326

带小数的也一样，小数点后面的指数从 -1 开始往下数：

二进制 1111.0101 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 + 0×2^-1 + 1×2^-2 + 0×2^-3 + 1×2^-4 = 15.3125

十进制转其他进制

整数：除基取余，倒着读

十进制 372 转二进制（除二取余）：
372 ÷ 2 = 186 …… 0
186 ÷ 2 =  93 …… 0
 93 ÷ 2 =  46 …… 1
 46 ÷ 2 =  23 …… 0
 23 ÷ 2 =  11 …… 1
 11 ÷ 2 =   5 …… 1
  5 ÷ 2 =   2 …… 1
  2 ÷ 2 =   1 …… 0
  1 ÷ 2 =   0 …… 1
从下往上读余数：1 0111 0100（B） = 372（D）

转八进制（除八取余）：372 → 余 4，46 → 余 6，5 → 余 5，读作 564（O）
转十六进制（除十六取余）：372 → 余 4，23 → 余 7，1 → 余 1，读作 174（H）

十六进制的余数可能大于 9，别忘了换成字母。比如 444：余数依次是 12（C）、11（B）、1，读作 1BC（H）。

小数：乘基取整，正着读

0.125 转二进制（乘二取整）：
0.125 × 2 = 0.25 …… 取整 0
0.25  × 2 = 0.5  …… 取整 0
0.5   × 2 = 1.0  …… 取整 1，小数部分为 0，结束
从上往下读：0.001（B） = 0.125（D）

但很多小数永远乘不完，比如 0.1458 转二进制会得到 0.001001... 一直循环下去。存多少位取决于给这个数分配了多少空间，这也是浮点数有精度误差的根源，系列第三篇会细讲。

二进制和八、十六进制互转：分组

1111（B）等于 15，再加 1 就是 16，正好在十六进制里进一位。所以 4 位二进制正好对应 1 位十六进制；同理 3 位二进制对应 1 位八进制。

二进制 1100 1111 0101
笨办法：先转十进制 3317，再转十六进制 CF5
聪明办法：从右往左每 4 位一组 → 1100 | 1111 | 0101 → C F 5

二进制 110 011 110 101（每 3 位一组）→ 6 3 6 5（O）

整数部分从右往左分组，小数部分从左往右分组，不够的位补 0。

延伸

• 在代码里转换：C# 用 Convert.ToString(372, 2) 得到 "101110100"，Convert.ToInt32("1BC", 16) 得到 444；格式化十六进制可以写 372.ToString("X")。C# 7 起还能直接写二进制字面量 0b1_0111_0100 和十六进制字面量 0x174，下划线只是分隔符。
• 为什么程序员偏爱十六进制：一个字节正好 8 位，等于两位十六进制，看内存、看报文时一眼就能对上字节边界。PLC 地址、颜色值（#FF8800）、MAC 地址都是这个原因。
• 八进制几乎只剩一个地方常见：Linux 的文件权限 chmod 755，每一位八进制正好对应 rwx 三个开关。