相机标定（一）：世界、相机、图像、像素四个坐标系

项目里研究标定时，要搞清楚像素坐标和运动轴位置的关系，也就是找到世界坐标系和像素坐标系之间的转换。理一理。

一、四个坐标系

1. 世界坐标系（Ow-XwYwZw）：三维，用来描述相机和物体在空间里的位置。可以根据需要自己定，通常和机器的运动坐标系（比如 XY 模组、机械手）重合，单位是 mm。
2. 相机坐标系（Oc-XcYcZc）：三维，原点在镜头光心，Zc 轴是光轴，Xc、Yc 分别平行于成像平面的两边。
3. 图像坐标系（O-xy）：二维，在成像平面上，原点是光轴和成像平面的交点（主点），一般在图像中心附近。单位是 mm（物理尺寸）。
4. 像素坐标系（O1-uv）：二维，原点在图像左上角，u 向右、v 向下，单位是像素。我们在软件里拿到的坐标就是这个。

为什么需要世界坐标系？ 它是一个固定不变的参考。相机、物体、机械手都相对它来描述，换相机、移动相机时，只要重新求出相机相对世界的关系，其他的都不用变。

二、坐标系之间的转换

从世界坐标到像素坐标，一共三步：

世界坐标 ──旋转+平移──▶ 相机坐标 ──透视投影──▶ 图像坐标 ──单位换算+平移──▶ 像素坐标
         （外参）                  （焦距 f）               （像元尺寸、主点）

1. 世界 → 相机：旋转和平移

两个三维直角坐标系之间，总可以通过一个旋转 R（3×3 矩阵）加一个平移 T（3×1 向量）互相转换：

⎡Xc⎤       ⎡Xw⎤
⎢Yc⎥ = R · ⎢Yw⎥ + T
⎣Zc⎦       ⎣Zw⎦

写成齐次坐标（多加一维 1），可以合成一个 4×4 矩阵：

⎡Xc⎤   ⎡R  T⎤ ⎡Xw⎤
⎢Yc⎥ = ⎢    ⎥ ⎢Yw⎥
⎢Zc⎥   ⎣0  1⎦ ⎢Zw⎥
⎣ 1⎦          ⎣ 1⎦

旋转矩阵 R 可以拆成绕三个轴各转一次。先看绕 Z 轴转 θ：Z 轴重合不动，点 P 在旧坐标系里是 (x, y, z)，在新坐标系里是 (x′, y′, z′)：

由几何关系可以得到：

写成矩阵：

同理，绕 X 轴转 φ、绕 Y 轴转 ω，各得到一个矩阵：

三个乘起来就是旋转矩阵：R = Rθ · Rφ · Rω。注意矩阵乘法不满足交换律，绕轴旋转的顺序不同，结果也不同，用别人的标定结果时要确认它是按什么顺序定义的。

平移 T 是 3×1 的向量，就是两个坐标系原点之间的差。所以最终：

R 和 T 描述的是相机在世界里的位置和朝向，叫外参。相机一挪动，外参就变了。

反过来从相机坐标转回世界坐标，用的是逆变换：旋转部分是 Rᵀ（旋转矩阵的逆等于它的转置），平移部分是 -Rᵀ·T，不是原来那个矩阵。

2. 相机 → 图像：透视投影

针孔模型下，空间点 P 和光心的连线与成像平面的交点，就是 P 在图像上的投影。f 是有效焦距：

用相似三角形可以得到：

x = f · Xc / Zc
y = f · Yc / Zc

除以 Zc 就是「近大远小」：同样大小的物体，离相机越远（Zc 越大），成像越小。这一步把三维压成了二维，深度信息丢掉了，所以单个相机从一张图里无法还原出 Z。

3. 图像 → 像素：换单位、挪原点

图像坐标单位是 mm，原点在中心；像素坐标单位是像素，原点在左上角。两个坐标系的轴互相平行，没有夹角，所以只有缩放和平移：

设每个像素的物理尺寸是 dx × dy（像元尺寸，比如 3.45 μm），主点在像素坐标里是 (u0, v0)：

u = x / dx + u0
v = y / dy + v0

4. 合起来

把三步串起来，就是标定里最常见的公式：

写成文字版：

     ⎡u⎤   ⎡fx  0  u0⎤               ⎡Xw⎤
Zc · ⎢v⎥ = ⎢ 0  fy v0⎥ · [ R | T ] · ⎢Yw⎥
     ⎣1⎦   ⎣ 0  0   1⎦               ⎢Zw⎥
                                      ⎣ 1⎦
           └── 内参 K ──┘  └─ 外参 ─┘

其中 fx = f / dx、fy = f / dy，是以像素为单位的焦距。

• 内参：fx、fy、u0、v0，只和相机、镜头本身有关，换个位置也不变；
• 外参：R、T，描述相机放在哪、朝哪；
• 相机标定就是通过拍摄已知尺寸的标定板，把这些参数求出来。实际的镜头还有畸变，标定时会把畸变系数一起求出来。

三、在项目里

大部分 2D 定位项目没有这么复杂：相机垂直向下拍一个平面，物体都在同一高度（Z 不变），那么像素坐标和平面上的世界坐标之间就是一个仿射变换（缩放、旋转、平移、少量错切），用几组对应点就能求出来。这就是常说的九点标定，见下一篇 相机标定（二）：九点标定和旋转中心。

需要用到上面完整模型的情况：相机斜着拍、物体高度不一、要做精确测量（必须去畸变），或者做 3D 视觉。

延伸

• Halcon 里的标定：calibrate_cameras 系列算子配合 Halcon 的标定板，可以求出内参（含畸变）和外参；之后用 image_points_to_world_plane 把像素坐标转换成世界平面上的 mm 坐标。
• OpenCV 里的标定：cv::calibrateCamera 用棋盘格求内参和畸变，cv::solvePnP 求外参。
• 远心镜头：普通镜头近大远小，远心镜头在一定范围内放大倍率不随距离变化，没有透视效果，测量项目常用。它的模型里没有除以 Zc 这一步。
• 矩阵和齐次坐标：用齐次坐标是为了让平移也能写成矩阵乘法，这样多次变换可以连乘合成一个矩阵。