相机标定（二）：九点标定和旋转中心

总结项目里用过的几种视觉标定，讲清楚大概原理。下面都假设已经排除了镜头畸变，并且相机垂直于工作平面。坐标系的基础见 上一篇。

一、眼在手外（相机固定）

自动化设备里经常要用视觉引导机械手或 XY 模组去准确定位。相机固定不动、视野固定时，分两种情况。

1. 不需要纠正角度

只需要把执行器移到目标点上方，不关心目标的朝向，比如点胶、点焊：

相机固定，视野里出现目标点 p 后，模组要能准确移到 p 的上方。

九点标定：求像素坐标和模组坐标之间的映射。

1. 把标定块（带一个 Mark 点）固定在执行器上；
2. 在视野里移动执行器；
3. 记录此时模组的 XY 坐标，以及图像里 Mark 点的像素坐标；
4. 重复 2 ~ 3 步，一共走 9 个点（通常排成 3 × 3 的网格，铺满视野）；
5. 用这 9 组对应点求出像素坐标到模组坐标的变换矩阵。

理论上 3 个不共线的点就能确定一个仿射变换，多取几个点是为了用最小二乘平均掉误差，所以常取 9 个。

示教基准：

1. 把一个物料放在视野中间；
2. 手动把执行器移到物料上方，摆好正确的工作位置，记录此时的模组坐标作为基准位置；
3. 视觉识别出这个物料，用标定矩阵换算成模组坐标，作为基准坐标 b(Xb, Yb)。

正常工作：

1. 识别新物料，换算得到坐标 p(X, Y)；
2. 计算偏差 (X - Xb, Y - Yb) 发给控制器；
3. 控制器在基准位置上加上这个偏差，就到了正确位置。

用「基准 + 偏差」而不是直接走换算出的绝对坐标，好处是示教时的执行器偏移（比如针头和 Mark 点不在同一个位置）被自动抵消了。

2. 需要纠正角度

需要把东西按正确的角度放下，比如贴标签、装配、抓取。下图中吸起来的标签角度每次可能不同，要让它和目标的红色区域平行贴上：

这时除了九点标定 XY，还要知道 U 轴（旋转轴）的旋转中心在哪。因为执行器转一个角度时，标签是绕旋转中心转的，标签上每个点的位置都会变。

九点标定 XY：同上。

标定旋转中心：

1. 标定块固定在执行器上，移到视野中，记下此时的 XY 和 U 坐标（很重要）；
2. 视觉识别 Mark 点位置；
3. XY 不动，只转 U 轴一个角度；
4. 重复 2 ~ 3 步，得到多个 Mark 点位置。它们都在以旋转中心为圆心的一段圆弧上；
5. 用这些点拟合圆，圆心就是旋转中心。

三个点就能确定一个圆，多取几个提高精度。转的角度范围越大，拟合的圆心越准，太小的弧拟合出来误差很大。注意：这个旋转中心是在第 1 步那个 XY 位置下求得的，拍照位置的 XY 变了，旋转中心的像素坐标也会跟着变。

正常工作：

1. 吸起标签，移到拍照位置（XY、U 要和标定旋转中心时一致）；
2. 拍标签，得到标签的角度和参考点（比如左上角）坐标；
3. 拍目标位置，得到放置的角度和参考点坐标；
4. 两个角度相减得到要转的角度 θ；
5. 算出标签参考点绕旋转中心转过 θ 之后的新位置 (X′, Y′)；
6. 目标参考点和 (X′, Y′) 之差就是 XY 要移动的距离。

第 5 步的旋转公式，(cx, cy) 是旋转中心：

X′ = (X - cx)·cosθ - (Y - cy)·sinθ + cx
Y′ = (X - cx)·sinθ + (Y - cy)·cosθ + cy

所以执行器先转 θ，再平移 (目标 - X′, 目标 - Y′)，就放正了。

原文还写了第二种做法：用标签的长宽和参考点到旋转中心的距离，在目标上推算出一个「虚拟旋转中心」，再算两个旋转中心的差。思路也能用，但要量的东西多、误差来源多，不推荐，这里就不展开了。

二、眼在手上（相机随执行器移动）

相机装在机械手或模组上，跟着一起动。原文这一节没写完，补一下思路：

• 拍照位置固定：每次都在同一个拍照位置拍照，那么相机和工作平面的关系每次都一样，和眼在手外一样做九点标定即可，只是标定时动的是标定板（或者让执行器带着相机去拍固定的标定板，记录 9 个位置）。
• 拍照位置不固定：要把「相机相对执行器的偏移」也求出来，像素坐标先换算成相机下的坐标，再加上拍照时执行器的位置。机械手上一般用标准的手眼标定（求解 AX = XB），Halcon 的 calibrate_hand_eye、OpenCV 的 calibrateHandEye 都能做。

延伸

• 算标定矩阵：Halcon 用 vector_to_hom_mat2d（九组点 → 仿射矩阵），再用 affine_trans_point_2d 换算坐标；OpenCV 用 estimateAffine2D。拟合圆用 Halcon 的 fit_circle_contour_xld 或者自己写最小二乘。
• 验证标定：标定完不要直接用。拿标定块在视野里随便放几个位置，用标定结果去走，看实际偏差多大，同时检查视野四角，畸变大的话边缘误差会明显变大。
• 精度来源：Mark 点识别的精度（用模板匹配或亚像素圆拟合，比阈值求中心准）、模组本身的重复定位精度、标定块是否固定牢靠、相机是否和平面垂直。
• 换了什么要重新标定：相机或镜头动了、焦距调过、工作高度变了，都要重新做；只换产品不用。